Konuyu oku, örnekleri çözümünü açmadan dene, sonra kendi düzeyinde alıştırmaya geç. Yanlışların ve zamanı gelen soruların Kişisel Rotam’da yeniden karşına çıkar.
Tam sayı, rasyonel sayı ve irrasyonel sayı ayrımını örneklerle açıklamak
İşlem önceliğini ve işaretleri gerekçesiyle uygulamak
Bölünebilme, kalan, EBOB ve EKOK bilgilerini uygun duruma taşımak
Mutlak değer ve aralık koşullarını sayı doğrusunda yorumlamak
Sonucu tahmin, yerine koyma ve karşı örnek ile denetlemek
Bu bölümde nasıl çalışacaksın?
Sayı sorularında amaç yalnızca hızlı işlem yapmak değildir. Önce hangi sayıların kullanılabileceğini, sonra işlemin ne söylediğini anlamalısın. Bir soruyu ilk kez okurken verilenleri işaretle, isteneni kendi cümlenle yaz ve sayının tam sayı mı, pozitif mi, sıfırdan farklı mı olduğunu belirle. Bu küçük koşullar çözüm yolunu değiştirir. Örneğin iki pozitif tam sayının çarpımı 12 ise seçenekler sınırlıdır; iki gerçek sayının çarpımı 12 ise olasılıklar sınırsızdır. Başlangıçta süre tutmadan çalış. Her çözümün yanına neden o işlemi seçtiğini bir cümleyle ekle. Sonuç kadar bu gerekçe de önemlidir; ezberlediğin yöntem ancak hangi koşulda geçerli olduğunu bildiğinde güvenilir olur.
Sayı kümeleri ve sıfırın yeri
Tam sayılar negatif tam sayıları, sıfırı ve pozitif tam sayıları birlikte içerir. Bir rasyonel sayı, payı ve paydası tam sayı olan bir kesirle yazılabilir; payda sıfır olamaz. Sonlu ondalıklar ve devirli ondalıklar rasyoneldir. İrrasyonel sayılar böyle bir kesirle tam olarak gösterilemez. Kök işareti görmek tek başına irrasyonellik kanıtı değildir: 49'un karekökü 7'dir, 2'nin karekökü ise irrasyoneldir. Doğal sayılar için bazı kaynaklar sıfırı dahil ederken bazıları etmez; sorudaki açıklamayı izle. Pozitif sözcüğü sıfırı dışarıda bırakır. Sıfırla çarpma tanımlıdır, sıfıra bölme ise tanımsızdır. Bu ayrım sadeleştirme sırasında özellikle önem taşır.
İşlem önceliği ve parantez
Parantez içini ve üsleri değerlendirdikten sonra çarpma ile bölmeyi soldan sağa, ardından toplama ile çıkarmayı soldan sağa yap. Çarpma her zaman bölmeden önce değildir; bu iki işlem aynı öncelik düzeyindedir. İşaret bir terimin parçasıdır. Negatif bir sayının karesi pozitiftir ama parantezsiz eksi işareti farklı bir anlam taşıyabilir: (-3)²=9 iken -3²=-9 olur. Uzun bir ifadeyi tek satırda zihninden götürmek yerine her satırda bir dönüşüm yap. Böylece hata yerini bulabilirsin. Hesap sonrasında kabaca büyüklük tahmini yap: küçük iki pozitif kesrin toplamı için yüzlerce çıkan bir sonuç, işlemi yeniden kontrol etmen gerektiğini gösterir.
Kesirler ve eşdeğer gösterimler
Bir kesrin payını ve paydasını aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpmak değerini değiştirmez. Toplama yaparken paydaları eşitlemek, parçaların aynı büyüklükte olmasını sağlar. Çarpma işleminde doğrudan payları ve paydaları çarpabilirsin; önce çapraz sadeleştirme yapmak işlemi küçültür. Bölmede ikinci kesrin tersini kullanırsın fakat bölen kesir sıfır olamaz. Toplamın içindeki terimleri keyfî biçimde sadeleştirme: (a+b)/a ifadesinde a yalnızca ilk terimle sadeleşir ve sonuç 1+b/a olur. Bir kesrin büyüklüğünü karşılaştırırken pozitif paydalar için çapraz çarpım kullanabilirsin. Paydalar negatifse önce işareti düzelt veya eşitsizlik kurallarını dikkatle uygula. Yaklaşık ondalık değer, tam hesabın yerine geçmez; yalnızca kontrol sağlar.
Tek-çift ve bölünebilme
Çift tam sayıyı 2k, tek tam sayıyı 2k+1 biçiminde yazmak örnek denemekten daha güçlüdür. İki tek sayının toplamı çift, bir tek ile bir çiftin toplamı tek olur. Çarpımın tek olması için bütün çarpanlar tek olmalıdır. Bölünebilme, bölümün tam sayı çıkmasıdır. Son basamak 2 ve 5'e, rakamlar toplamı 3 ve 9'a bölünebilme için işaret verir. Bir sayı hem 3'e hem 4'e bölünüyorsa 12'ye de bölünür; bunun nedeni 3 ile 4'ün aralarında asal olmasıdır. Ancak 4 ve 6'ya bölünmek 24'e bölünmeyi zorunlu kılmaz. Böyle bir genellemeyi 12 karşı örneğiyle hemen sınayabilirsin.
Kalan ve periyodik yapı
Bir tam sayı, pozitif bir d bölenine göre n=dq+r biçiminde yazılır; kalan r, 0 ile d-1 arasındadır. Beşe bölündüğünde 2 kalanını veren sayılar 2, 7, 12, 17 şeklinde ilerler. İkinci bir kalan koşulu geldiğinde bu listeyi ikinci koşulla sınayabilirsin. Listeleme başlangıç için anlaşılırdır; çok büyük sayılarda modüler düşünme daha verimlidir. Bir örüntüde son basamak veya tekrar eden gün sorulursa önce dönem uzunluğunu bul. Kalan sıfır olduğunda dönemin son elemanını kullanman gerekebilir; otomatik biçimde ilk elemana gitme. Bulduğun sayıyı bütün kalan koşullarına ayrı ayrı geri koy. Tek koşula uyan bir sayı henüz cevap değildir.
EBOB, EKOK ve mutlak değer
EBOB iki pozitif tam sayıyı birlikte bölen en büyük pozitif sayıdır. EKOK ise ikisinin pozitif ortak katları arasındaki en küçüğüdür. Eş büyüklükte en büyük parçalara ayırma düşüncesi EBOB'u, eş zamanlı tekrarları bulma düşüncesi EKOK'u çağrıştırır. Asal çarpanlarda ortak üslerin küçüğü EBOB'a, her asalın büyük üssü EKOK'a alınır. İki pozitif tam sayı için EBOB ile EKOK'un çarpımı bu sayıların çarpımına eşittir. Mutlak değer ise sayı doğrusundaki uzaklığı anlatır. |x-3|≤2, x'in 3'e uzaklığının en fazla 2 olmasıdır; dolayısıyla 1≤x≤5. x tam sayıysa beş olasılık vardır; gerçek sayıysa aradaki bütün değerler mümkündür.
Soru sonrası kısa kontrol
Cevabını seçmeden önce üç kontrol yap: koşul kontrolü, işlem kontrolü ve anlam kontrolü. Koşul kontrolünde sayı istenen kümede mi, yasak bir paydayı sıfır yapıyor mu, bütün eşitsizliklere uyuyor mu diye sor. İşlem kontrolünde sonucu başlangıç ifadesine geri koy veya farklı bir yolla hesapla. Anlam kontrolünde büyüklük, işaret ve birimi değerlendir. Bir soruyu yanlış yaptıysan yalnızca doğru şıkkı yazma; işaret, kavram, işlem ya da okuma hatası olarak sınıflandır. Sonraki gün aynı çözümü bakmadan açıklamayı dene. Aynı sayıları ezberlemek yerine benzer yapıyı farklı koşulda tanımaya çalış. Bu bölüm başlangıç desteğidir; bütün KPSS sayısal kapsamını bitirdiğin anlamına gelmez.
Çözümlü örnekler
Örnek 1
Pozitif bir tam sayı 4'e bölündüğünde 1, 3'e bölündüğünde 2 kalanını veriyor. En küçük böyle sayı kaçtır?
Çözümü incele
İlk koşula uyan sayıları 1, 5, 9, 13, ... diye yaz. 1'in 3'e bölümünden kalan 1'dir, 5'in kalanı 2'dir. Bu nedenle en küçük uygun sayı 5'tir. Kontrol: 5=4·1+1 ve 5=3·1+2. İki eşitlik de uygun kalan aralıklarını sağlar.
Örnek 2
48 cm ve 60 cm uzunluğundaki iki şerit, artan parça kalmadan eşit ve mümkün olan en uzun parçalara ayrılıyor. Toplam kaç parça oluşur?
Çözümü incele
Parça boyu her iki uzunluğu da bölmelidir; en uzun boy EBOB(48,60)=12 cm'dir. İlk şeritten 48/12=4, ikinciden 60/12=5 parça çıkar. Toplam 9 parçadır. EKOK kullanmak parça boyunu uzunluklardan daha büyük yapardı; bu da sorunun fiziksel anlamına uymaz.
Doğru ve ters orantı arasındaki farkı model üzerinden açıklamak
Yüzde değişimlerinde başlangıç değerini belirlemek
Bir ve iki bilinmeyenli doğrusal denklemleri çözmek
Eşitsizlik ve mutlak değer çözümlerinde koşulları denetlemek
Oran bir karşılaştırmadır
Oran, iki çokluğun birbirine göre büyüklüğünü anlatır. A:B=2:3 ifadesi A'nın mutlaka 2, B'nin mutlaka 3 olduğu anlamına gelmez; A=2k ve B=3k biçimindeki bütün uygun çiftler bu oranı sağlar. Kişi veya ürün sayısında k'nın değerini toplam, fark veya başka bir bilgi belirler. Aynı tür miktarları karşılaştırıyorsan birimlerini önce eşitle: 2 metre ile 50 santimetrenin oranı 2/50 değil, 200/50=4'tür. Farklı tür miktarları karşılaştırmak da anlamlı olabilir; kilometre/saat buna örnektir ve sonuç birim taşır. Her oranı yazarken payın ve paydanın ne olduğunu sesli olarak ifade et. Tersini almak, karşılaştırmanın yönünü değiştirir.
Bütünü paylaştırmak
Bir miktar 2:3:5 oranında paylaştırılıyorsa toplam on eş parçadan oluşur. Bütün miktarı 10'a bölerek bir parçayı bul, sonra istenen payla çarp. Toplamı doğrudan 2'ye veya 5'e bölmek, oranı payın kendisi sanma hatasıdır. Zincirleme oranlarda ortak çokluğun katsayısını eşitle. A/B=3/5 ve B/C=10/7 ise ilk oranı 6/10 biçiminde yazabilirsin; A:B:C=6:10:7 olur. Bu yöntem ortak B'nin aynı miktarı temsil etmesini sağlar. Oranlara aynı sayıyı eklemek oranı genellikle korumaz. A ve B'ye eşit miktar eklenen sorularda yeni oran için yeni denklem kur. Eski oranı yeni duruma aynen taşımak doğru değildir.
Doğru ve ters orantının koşulları
Doğru orantıda bir çokluk belirli katsayıyla büyüdüğünde diğeri de aynı katsayıyla büyür; bölüm sabit kalır. Ters orantıda aynı koşullar altında çarpım sabit kalır. Sabit bir işi eş verimle yapan işçi sayısı artarsa gereken süre azalır; işçi sayısı ile süre ters orantılıdır. Bu modelin geçerliliği işçilerin aynı verimde çalışması, iş miktarının değişmemesi ve birlikte çalışmanın verimi etkilememesi gibi varsayımlara bağlıdır. Sabit açılış ücreti içeren bir fiyat ise doğrudan orantılı değildir: toplam ücret iki kat hizmette iki katına çıkmayabilir. Soruda yalnızca 'artar' sözcüğünü görüp doğru orantı seçme. Önce hangi büyüklüğün sabit kaldığını belirle.
Yüzdede referans değeri bul
Yüzde, yüz eş parçalık bir karşılaştırmadır. Bir değerin yüzde 20'si o değerin 0,20 katıdır. Yüzde 20 artış yeni değeri 1,20 kat, yüzde 20 azalış 0,80 kat yapar. Ardışık değişimlerde referans değer her aşamada yenilenir. Önce yüzde 20, sonra yüzde 10 indirim uygulanırsa çarpan 0,80·0,90=0,72 olur; toplam indirim yüzde 28'dir. Yüzdeleri doğrudan toplamak yanlış olur. Artıştan önceki değeri ararken yeni değeri artış çarpanına böl. Zamlı fiyatın yüzde 25'ini çıkarmak, eski fiyatı geri vermez. Birim fiyat, toplam bedel ve adet birbirine karışıyorsa küçük bir tabloyla her aşamanın hangi miktara uygulandığını yaz.
Denklem dengeyi korur
Denklemin iki tarafı eşit değer taşır. Çözüm boyunca iki tarafa aynı sayıyı eklemek, çıkarmak veya sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpmak ve bölmek eşitliği korur. 'Karşıya geçince işaret değişir' sözü bu işlemlerin kısa anlatımıdır; işlemi anlamadan kullanmak parantez hatalarına yol açar. Önce parantezleri dağıt, sonra benzer terimleri topla, bilinmeyenli terimleri bir tarafta sabitleri diğer tarafta biriktir. 3(2x-1) ifadesinde 3 hem 2x'i hem -1'i çarpar. Sonunda bulduğun x'i ilk denkleme geri koy. Sadeleşme sonrası 0=0 çıkarsa uygun tanım kümesindeki her değer çözümdür; 0=5 çıkarsa çözüm yoktur. Her denklem tek bir sayı üretmez.
İki bilinmeyen ve kısıtlar
İki bilinmeyenli bir soruda iki bağımsız ilişki gerekiyorsa bunları ayrı denklemler halinde yaz. Bir denklemden y'yi yalnız bırakıp diğerine koyabilir veya katsayıları eşitleyip denklemleri toplayarak bir bilinmeyeni yok edebilirsin. Sayı, yaş ya da adet sorularında çıkan değerlerin pozitif veya tam sayı olma koşulunu ayrıca denetle. Kesirli ifadelerde payda sıfır olamaz; sadeleştirdiğinde bu yasak kaybolmaz. (x²-9)/(x-3), x≠3 koşulunda x+3'e eşittir; başlangıç ifadesi x=3 için tanımsızdır. Denklem çözümünün ve ifadenin tanım kümesinin ayrı sorular olduğunu fark et. Önce yasak değerleri not etmek, son aşamada geçersiz cevabı işaretlemeni önler.
Eşitsizlik ve uzaklık
Eşitsizlikte iki tarafa aynı sayıyı eklemek yönü değiştirmez. İki tarafı negatif bir sayıyla çarptığında veya böldüğünde yön tersine döner. -3x>12 eşitsizliğinden x<-4 gelir; x> -4 yazmak önemli bir işaret hatasıdır. Çözüm aralığını sayı doğrusunda görselleştir ve örnek bir uygun, bir uygunsuz değerle kontrol et. En büyük tam sayı isteniyorsa sınırın açık veya kapalı olmasına dikkat et. |2x-5|=7 eşitliği, 2x-5 ifadesinin 7 ya da -7 olmasını söyler; iki ayrı denklem oluşur. Tek bir işaret durumuna bakmak diğer çözümü kaybettirir. Uzaklık negatif olmayacağından mutlak değerin negatif bir sayıya eşit olduğu denklem çözümsüzdür.
Modeli açıklamak ve tekrar etmek
Çözdüğün bir soruyu üç cümleyle anlat: hangi miktara harf verdim, hangi ilişkiyi denklem yaptım, sonucu nasıl kontrol ettim? Bu küçük anlatım, konuyu gerçekten anlayıp anlamadığını gösterir. Yanlış yaptığında yalnızca yeni işlem öğrenmek yerine yanlış referans değerini, birim uyumsuzluğunu veya eksik koşulu bul. Doğru çıkan bir cevap tesadüfi bir işlemle elde edilmişse yine çözümü yeniden kur. Tekrar çalışmasında önce eşit paylaştırma ve tek denklem sorularını, ardından oran değişimi, ardışık yüzde ve sistem sorularını çöz. Hızın daha sonra gelişir. Bu başlangıç bölümü için hedef bütün işlemleri ezberlemek değil, sayısal ilişkiyi tutarlı bir modele çevirmektir. Resmî sınav kapsamı bu üç başlıktan daha geniştir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1
A ve B'nin miktarları 3:5 oranındadır. İkisine de 12 birim eklenince oran 5:7 oluyor. Başlangıç miktarlarının toplamı kaçtır?
Çözümü incele
A=3k, B=5k yaz. Yeni ilişki (3k+12)/(5k+12)=5/7 olur. Çapraz çarp: 21k+84=25k+60; 4k=24 ve k=6. Başlangıç toplamı 8k=48'dir. Kontrol: 18:30=3:5 ve 30:42=5:7.
Örnek 2
Bir ürün yüzde 20 zamdan sonra yüzde 10 indirimle 216 TL oluyor. İlk fiyatı kaç TL'dir?
Çözümü incele
İlk fiyat p olsun. Zamdan sonraki fiyat 1,20p, indirimden sonraki fiyat 0,90·1,20p=1,08p'dir. 1,08p=216 denkleminden p=200 TL bulunur. Kontrol: 200→240→216. Toplam değişim yüzde 8 artıştır; yüzde 10 artış değildir.
Metinden modele: işi, yolu, karışımı ve veriyi çöz
Bu bölümde neler öğreneceksin?
Sözel problemde verilen, istenen ve model varsayımlarını ayırmak
İş ve hareket problemlerini birim hız üzerinden çözmek
Karışım, kâr ve yaş sorularında korunan miktarı belirlemek
Ağırlıklı ortalamayı doğru ağırlıklarla hesaplamak
Basit sayma ve koşullu olasılık durumlarını örnek uzayla denetlemek
Problemi okumak bir matematik işlemidir
Uzun bir metni gördüğünde önce bütün sayıları çarpmaya çalışma. Sorunun ne istediğini belirle ve her sayının hangi miktara ait olduğunu yaz. Verilen bilgiyi, bilinmeyeni ve modelin varsayımını ayır. 'Sabit hız', 'aynı verim', 'geri koymadan' ya da 'bugünkü yaş' gibi ifadeler hangi işlemin geçerli olduğunu söyler. Bir tablo, zaman çizgisi veya küçük şekil çoğu zaman uzun cebirden daha fazla açıklık sağlar. Bilinmeyene harf verirken birimini de yaz: x saat ile x kilometre aynı şey değildir. Modeli kurduktan sonra her denklemin bir cümlesini söyle. Denklem, metindeki ilişkiyi gerçekten anlatmıyorsa iyi yapılan işlem de doğru cevap üretmez.
İş problemlerinde bütün işi birimleştir
Bir kişi işi 12 saatte tamamlıyorsa bir saatte işin 1/12'sini yapar. Bağımsız ve sabit verimli iki kişi birlikte çalıştığında saatlik iş payları toplanır. A'nın 12, B'nin 18 saatte bitirdiği iş için birlikte hız 1/12+1/18=5/36 iş/saat olur; bitirme süresi 36/5 saattir. Tamamlama sürelerini toplamak veya ortalamalarını almak doğru model değildir. Biri işi doldururken diğeri boşaltıyorsa etkiler zıt işaretli olur. Kişiler farklı sürelerde çalışıyorsa her evrede hız ile süreyi çarp ve yapılan iş paylarını topla. Sonuç bir saatten küçük veya tek kişiden daha uzun çıktıysa modelin yönünü ve işlemleri kontrol et.
Hareket: bağıl hız ve ortalama hız
Sabit hızlı harekette yol=hız·zaman ilişkisi kullanılır. Aynı yönde giden iki araç arasındaki mesafe kapanıyorsa bağıl hız hızların farkıdır. Birbirine doğru geliyorlarsa hızlar toplanır. Bu işlemler ancak hareketin yönü ve hız koşulları uygunsa geçerlidir. Ortalama hız, toplam yolun toplam zamana oranıdır; iki hızın aritmetik ortalaması her durumda doğru değildir. Eşit mesafeli gidiş dönüşte yavaş bölüm daha çok zaman alır. 60 kilometrelik yolu 30 km/saatle gitmek 2 saat, 60 km/saatle dönmek 1 saat sürer; toplam 120/3=40 km/saat olur. Aynı sürelerde gidilseydi aritmetik ortalama geçerli olabilirdi. Mesafenin mi sürenin mi eşit olduğunu özellikle kontrol et.
Yaş ve basamak soruları
Yaş sorularında herkesin yaşı aynı süre kadar artar; iki kişinin yaş farkı sabit kalır, yaş oranı genellikle değişir. Bugünkü yaşları x ve 2x olan iki kişinin altı yıl sonraki toplamını x+6 ve 2x+6 üzerinden yaz. 'Altı yıl sonra' bilgisini yalnız bir kişiye eklemek model hatasıdır. Rakam sorularında iki basamaklı AB sayısı 10A+B'dir; A+B değildir. Ters yazılan sayı 10B+A olur. Ters sayı ile ilk sayının farkı 9(B-A) olduğundan verilen fark basamak ilişkisini hızlıca gösterir. A sıfır olamaz; B ise sorudaki koşula göre sıfır olabilir. Bulduğun rakamları hem toplam koşuluna hem sayı koşuluna geri koy.
Karışımda korunan bileşeni izle
Karışım yüzdesi, hedef bileşenin miktarının bütün karışıma oranıdır. 20 litre yüzde 30'luk bir karışımda hedef bileşen 6 litredir. Yüzde 10'luk x litre başka karışım eklenirse bileşen 6+0,10x, toplam 20+x olur. Son yüzde 20 olacaksa 6+0,10x=0,20(20+x) denklemi kurulur. Bu öğretim modelinde hacimlerin toplandığı ve bileşenin kaybolmadığı varsayılır. Karışımların yüzdelerini doğrudan ortalamak ancak miktarlar eşitse çalışır. Daha yoğun karışımdan daha çok eklenirse son oran ona yaklaşır. İki başlangıç oranından daha büyük veya daha küçük bir sonuç, verilen basit karışım koşulları altında beklenmez. Bu sınır kontrolü hesabı denetlemeni sağlar.
Kâr, indirim ve ağırlıklı ortalama
Kâr yüzdesi, aksi açıkça söylenmedikçe maliyete göre yorumlanır. Maliyeti 250 TL olan ürünü yüzde 40 kâr hedefiyle 350 TL'ye etiketlemek, sonra yüzde 20 indirim yapmak 280 TL satış fiyatı verir. Gerçek kâr 30 TL ve maliyete göre yüzde 12'dir. Etiket indirimi ile kâr yüzdesini birbirinden doğrudan çıkarmak uygun değildir. Ağırlıklı ortalamada her değerin kaç kişiyi veya kaç ürünü temsil ettiğini hesaba kat. On iki kişinin ortalaması 70, on sekiz kişinin ortalaması 80 ise toplam puan 12·70+18·80'dir; bunu 30 kişiye böl. İki ortalamanın doğrudan ortalamasını almak grup büyüklüklerinin eşit olduğu özel durumda doğru olur.
Sayma, olasılık ve değişen örnek uzay
Bir seçimde görevler farklıysa sıranın önemli olup olmadığını düşün. Beş kişiden başkan ve başkan yardımcısı seçerken aynı kişi iki görevi alamıyorsa 5·4=20 farklı görevlendirme vardır. İki kişilik isimsiz bir ekip seçseydin her çift iki kez sayılacağı için sonuç 10 olurdu. Olasılıkta eş olasılıklı sonuçların sayısını doğru örnek uzay içinde karşılaştır. Torbadan geri koymadan bir top çekilince toplam top sayısı ve renk sayıları değişir. İlk topun kırmızı olduğu bilgisi verilmişse ikinci seçim için yalnız kalan torbayı kullan. Koşullu bir olasılığı, başlangıçtaki renk oranıyla otomatik olarak eşitleme. Önce hangi bilgiye göre olasılık hesapladığını açıkça belirt.
Doğrulama ve çalışma döngüsü
Çözüm bittiğinde cevabı metindeki bütün ilişkilere geri koy. Birim dönüşümünde 0,2 saatin 20 dakika olmadığını hatırla: 0,2·60=12 dakikadır. Sonucun fiziksel ya da sayısal anlamını sorgula; birlikte çalışan iki verimli kişinin süresi yavaş kişinin süresinden uzun olmamalıdır. Yanlış soruları iş, hareket, oran, okuma ve birim hatası olarak ayır. Ertesi gün yalnız çözümü okumak yerine boş bir sayfada modeli yeniden kur ve kendi cümlelerinle anlat. Gelişimi sadece süre üzerinden izleme; aynı zamanda doğruluğu ve açıklamanın tutarlılığını takip et. Bu bölümdeki problemler özgün başlangıç alıştırmalarıdır; resmî ÖSYM sorusu, tam müfredat ya da başarı garantisi değildir.
Çözümlü örnekler
Örnek 1
İki araç aynı yönde sabit hızla gidiyor. Öndeki aracın hızı 45 km/saat, arkadakinin 75 km/saat; başlangıç aralığı 60 km. Arkadaki araç kaç saatte yetişir?
Çözümü incele
Mesafe her saat 75-45=30 km azalır. Yetişme süresi 60/30=2 saattir. Kontrol: öndeki 90 km, arkadaki 150 km gider; aradaki yol farkı 60 km olur ve başlangıç aralığını kapatır. Hızları toplamak, aynı yöndeki hareketi karşılıklı hareket gibi yorumlamak olurdu.
Örnek 2
15 kişilik bir grubun puan ortalaması 64, 25 kişilik başka grubun ortalaması 80'dir. Birleşik grubun ortalaması kaçtır?
Çözümü incele
İlk toplam 15·64=960, ikinci toplam 25·80=2000 puandır. Toplam kişi 40, toplam puan 2960 olur. Ortalama 2960/40=74'tür. Kontrol: sonuç 64 ile 80 arasındadır ve büyük grup 80 puanlı olduğu için 72'lik basit ortalamadan yüksektir.
Doğru seçeneği görmekten önce birimi, tabanı ve kurduğun denklemi kontrol et.
1 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
x bir tam sayı ve -5 < x ≤ 4 olduğuna göre, x’in alabileceği bütün değerlerin toplamı kaçtır?
0
-9
9
-4
4
İpucunu gör
Aralığın uçlarını ve tam sayı koşulunu ayrı ayrı kontrol et.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 0
Uygun tam sayılar -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4’tür. Karşıt işaretli eş büyüklükte sayılar birbirini götürür; toplam 0 olur. -5 dahil değildir, 4 dahildir.
2 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
2⁴ - 3·(5-7)² işleminin sonucu kaçtır?
28
12
4
-4
-20
İpucunu gör
Parantez içindeki negatif sayıyı üs alınırken koru.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 4
Önce 5-7=-2 ve (-2)²=4 bulunur. 2⁴=16 olduğundan ifade 16-3·4=4 olur. Negatif sayının karesi pozitiftir.
3 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
(3/4 - 1/6) ÷ (7/12) işleminin sonucu kaçtır?
2
1
7/6
1/2
3/4
İpucunu gör
Önce paydaları eşitle; ardından bölme işlemini yap.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 1
3/4-1/6=9/12-2/12=7/12. Bir sıfırdan farklı sayı kendisine bölündüğünde 1 verir. Aynı sonuç (7/12)·(12/7)=1 ile de doğrulanır.
4 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
Pozitif bir tam sayı 5’e bölündüğünde 2, 3’e bölündüğünde 1 kalanını veriyor. En küçük böyle sayı kaçtır?
7
4
11
12
17
İpucunu gör
Bir kalan koşuluyla liste oluştur, ikinci koşulla süz.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 7
Beşe bölümünden kalanı 2 olan pozitif sayılar 2,7,12,17,... biçimindedir. 2’nin 3’e bölümünden kalanı 2; 7’nin kalanı 1’dir. İlk uygun sayı 7’dir.
5 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
Üç basamaklı ve 12’ye tam bölünebilen en büyük tam sayı kaçtır?
984
996
998
990
992
İpucunu gör
999’u 12’ye böl ve kalanını çıkar.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 996
En büyük üç basamaklı sayı 999’dur. 999’un 12’ye bölümünde bölüm 83, kalan 3’tür. 999-3=996 ve 996=12·83. Sonraki kat 1008 üç basamaklı değildir.
6 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
84/120 kesrinin en sade biçimi hangisidir?
5/7
7/10
7/12
2/3
3/5
İpucunu gör
Ortak böleni paya ve paydaya birlikte uygula.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 7/10
EBOB(84,120)=12’dir. Payı ve paydayı 12’ye bölersek 7/10 elde edilir. 7 ile 10’un ortak böleni yalnız 1 olduğundan kesir en sade haldedir.
7 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
a ve b ardışık tam sayılar, b=a+1 ve a çift olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?
a ve b’nin ikisi de tektir.
a²+b² tektir.
b-a=2’dir.
a·b tektir.
a+b çifttir.
İpucunu gör
Çifti 2k, komşu teki 2k+1 ile göster.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · a²+b² tektir.
a=2k, b=2k+1 yazılabilir. a² çift, b² tek olduğundan toplamları tektir. a+b tek, a·b çift ve b-a=1’dir; dolayısıyla yalnız üçüncü ifade her zaman doğrudur.
8 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
|x-3| ≤ 2 koşulunu sağlayan kaç farklı tam sayı x vardır?
4
5
7
6
3
İpucunu gör
Mutlak değeri sayı doğrusunda uzaklık olarak oku.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 5
x’in 3’e uzaklığı en fazla 2 ise 1≤x≤5 olur. Uygun tam sayılar 1,2,3,4,5; toplam beş tanedir. Uç noktalar ≤ nedeniyle dahildir.
9 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
18 ve 24 sayılarının EBOB’u ile EKOK’unun toplamı kaçtır?
78
30
54
72
42
İpucunu gör
Asal çarpanlarda küçük üsler EBOB’u, büyük üsler EKOK’u verir.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 78
18=2·3², 24=2³·3. EBOB=2·3=6; EKOK=2³·3²=72. Toplam 6+72=78’dir. Kontrol: 6·72=18·24.
10 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
Aşağıdaki sayılardan hangisi irrasyoneldir?
0,125
√18 / 3
-11/4
√49 / 7
√81
İpucunu gör
Kök içindeki tam kare çarpanı dışarı çıkar.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · √18 / 3
√49/7=1; 0,125=1/8; -11/4 rasyonel; √81=9’dur. √18/3=(3√2)/3=√2 irrasyoneldir. Kök işareti tek başına irrasyonellik göstergesi değildir.
11 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
İlk 12 pozitif tek tam sayının toplamı kaçtır?
144
156
169
121
132
İpucunu gör
Son terimi bul; ilk-son ortalamasını terim sayısıyla çarp.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 144
Sayılar 1,3,...,23’tür. İlk ve son toplamı 24, terim sayısı 12 olduğundan toplam 12·24/2=144’tür. İlk n pozitif tek sayının toplamı n² kuralı da 12²=144 verir.
12 · Sayı yapıları ve işlem muhakemesi
A bir rakamdır. Üç basamaklı 4A2 sayısı 9’a tam bölündüğüne göre A kaçtır?
2
6
1
3
5
İpucunu gör
Rakamlar toplamını yaz ve A’nın rakam olma koşulunu kullan.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 3
9’a bölünebilmek için rakamlar toplamı 4+A+2=6+A, 9’un katı olmalıdır. A 0 ile 9 arasında olduğundan 6+A 6 ile 15 arasındadır; tek uygun kat 9’dur. A=3.
13 · Oran ve cebir modelleri
a, b ve c pozitif sayılardır. a/b=3/5, b/c=10/7 ve c=21 olduğuna göre 2a+c kaçtır?
63
54
57
45
48
İpucunu gör
Ortak b miktarının katsayısını iki oranda eşitle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 57
a:b=6:10 ve b:c=10:7 olduğundan a:b:c=6:10:7. c=21 ise ortak katsayı 3’tür; a=18 olur. 2a+c=36+21=57.
14 · Oran ve cebir modelleri
3(2x-1)-2(x+4)=17 denklemini sağlayan x kaçtır?
6
7
5
8
4
İpucunu gör
Dağıtma sırasında -2’yi parantezin iki terimine de uygula.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 7
Parantezler açılırsa 6x-3-2x-8=17, yani 4x-11=17 olur. 4x=28 ve x=7. Yerine koyunca 3·13-2·11=17 elde edilir.
15 · Oran ve cebir modelleri
2x+y=17 ve x-y=1 olduğuna göre x+y kaçtır?
11
7
13
10
9
İpucunu gör
Bir denklemden bir bilinmeyeni çekip diğerinde yerine koy.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 11
İkinci eşitlikten y=x-1. İlkinde 2x+x-1=17, dolayısıyla x=6 ve y=5. x+y=11. İki başlangıç denklemi de sağlanır.
16 · Oran ve cebir modelleri
a ve b pozitif sayılar, a/b=2/3 ve (a+6)/(b+6)=3/4 olduğuna göre a+b kaçtır?
24
30
42
18
36
İpucunu gör
İki miktara aynı sayı eklenince yeni oran için yeni denklem kur.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 30
a=2k, b=3k yaz. 4(2k+6)=3(3k+6) denkleminden 8k+24=9k+18, k=6 çıkar. a=12, b=18 ve toplam 30’dur.
17 · Oran ve cebir modelleri
Eş verimle çalışan 6 işçi bir işi 15 günde bitiriyor. Aynı işi aynı koşullarda 10 işçi kaç günde bitirir?
6
12
9
8
10
İpucunu gör
İş miktarı sabitse işçi sayısı ile süre ters orantılıdır.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 9
Sabit iş için işçi sayısı ile gün sayısının çarpımı 6·15=90 işçi-gündür. 10 işçi için süre 90/10=9 gündür. Model işçilerin veriminin değişmediğini kabul eder.
18 · Oran ve cebir modelleri
Bir ürüne önce yüzde 20, ardından indirimli fiyat üzerinden yüzde 10 indirim yapılıyor. İlk fiyata göre toplam indirim yüzde kaçtır?
20
28
25
30
10
İpucunu gör
İndirim yüzdelerini toplamak yerine kalan fiyat çarpanlarını çarp.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 28
Yeni fiyat ilk fiyatın 0,80·0,90=0,72 katıdır. Geriye yüzde 72 kaldığından toplam indirim yüzde 28’dir. Yüzdeler farklı fiyatlara uygulanır.
19 · Oran ve cebir modelleri
Bir ürünün fiyatı yüzde 25 artırıldığında 360 TL oluyor. Artıştan önceki fiyatı kaç TL’dir?
320
270
300
288
280
İpucunu gör
Zamlı fiyatı 1,25’e böl; zamlı fiyattan yüzde 25 çıkarma.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 288
İlk fiyat p ise 1,25p=360. p=360/1,25=288 TL. Kontrol: 288’in yüzde 25’i 72; 288+72=360.
20 · Oran ve cebir modelleri
Birim fiyatı 50 TL olan 4 ürün ile birim fiyatı 80 TL olan 6 ürünün ortalama birim fiyatı kaç TL’dir?
60
68
70
65
72
İpucunu gör
Her fiyatı temsil ettiği adetle çarp.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 68
Toplam bedel 4·50+6·80=680 TL, toplam ürün sayısı 10’dur. Ortalama birim fiyat 680/10=68 TL’dir. İki fiyatın basit ortalaması ağırlıkları yok sayar.
21 · Oran ve cebir modelleri
(x²-9)/(x-3) ifadesi gerçek sayılarda hangi x değeri için tanımsızdır?
1
3
0
-1
-3
İpucunu gör
Sadeleştirmeden önce paydayı sıfır yapan değeri belirle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 3
Payda x-3 olduğundan x=3’te sıfır olur; başlangıç ifadesi bu değerde tanımsızdır. x≠3 iken ifade x+3’e sadeleşebilir; sadeleştirme x=3 yasağını kaldırmaz.
22 · Oran ve cebir modelleri
x < 2 olmak üzere |x-2| + |x+4| = 10 denklemini sağlayan gerçek sayı x kaçtır?
-6
-8
0
4
-4
İpucunu gör
Mutlak değer içlerinin işaret değiştirdiği -4 ve 2 noktalarına göre aralıkları ayır.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · -6
x<-4 ise iki ifade de negatiftir: |x-2|+|x+4|=(2-x)+(-x-4)=-2x-2. -2x-2=10’dan x=-6; bu değer x<-4 koşulunu sağlar. -4≤x<2 aralığında toplam (2-x)+(x+4)=6 olur ve 10’a eşit olamaz. x≥2 zaten sorunun koşuluyla dışlanır. Tek uygun çözüm -6’dır.
23 · Oran ve cebir modelleri
-3x+4>16 koşulunu sağlayan en büyük tam sayı x kaçtır?
4
-6
5
-4
-5
İpucunu gör
Negatif bir sayıya bölerken eşitsizliğin yönünü değiştir.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · -5
-3x>12. Negatif -3’e bölünce yön değişir ve x<-4 olur. -4 dahil değildir; en büyük uygun tam sayı -5’tir. Kontrol: -3·(-5)+4=19>16.
24 · Oran ve cebir modelleri
150 bilet üç gruba 2:3:5 oranında paylaştırılıyor. En çok bilet alan grup kaç bilet alır?
45
50
75
30
60
İpucunu gör
Önce oran paylarını toplayarak bir birimin değerini bul.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 75
Toplam oran birimi 2+3+5=10’dur. Bir birim 150/10=15 bilet eder. En büyük pay 5·15=75 bilettir. Diğer paylar 30 ve 45; toplamları 150 olur.
25 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
A bir işi tek başına 12 saatte, B 18 saatte bitiriyor. İkisi sabit ve bağımsız verimle birlikte çalışırsa iş kaç saatte tamamlanır?
6 saat
7 saat
7 saat 12 dakika
15 saat
8 saat
İpucunu gör
Süreleri değil, bir saatte yapılan iş paylarını topla.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 7 saat 12 dakika
Birlikte saatlik iş payı 1/12+1/18=5/36’dır. Süre 36/5=7,2 saat olur. 0,2 saat=12 dakika olduğundan sonuç 7 saat 12 dakikadır.
26 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Aynı yönde sabit hızla giden iki araç arasındaki başlangıç mesafesi 90 km’dir. Öndeki 50 km/saat, arkadaki 80 km/saat hızla gidiyorsa arkadaki kaç saatte yetişir?
6
2
1
4
3
İpucunu gör
Aynı yönde mesafenin kapanma hızını düşün.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 3
Bağıl hız 80-50=30 km/saat olduğundan mesafe saatte 30 km kapanır. Süre 90/30=3 saattir. Üç saatte araçların aldığı yollar arasındaki fark 240-150=90 km olur.
27 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Bir tren sabit hızla bir direğin yanından tamamen 12 saniyede geçiyor. Aynı trenin 180 metrelik köprüye ön ucunun girmesinden arka ucunun çıkmasına kadar 30 saniye geçiyor. Trenin uzunluğu kaç metredir?
180
90
120
100
150
İpucunu gör
Direk ve köprü geçişinde alınan yolların farkı köprü uzunluğudur.
Yanıt ve gerekçeyi incele
C · 120
Direk geçişinde tren kendi uzunluğu L kadar yol alır: L=12v. Köprü geçişinde ön uç L+180 metre gider: L+180=30v. İkinci eşitlikten birincisi çıkarılınca 180=18v; v=10 m/s. Tren boyu L=12·10=120 metredir. Kontrol: (120+180)/10=30 saniye.
28 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Emine’nin bugünkü yaşı Ali’nin bugünkü yaşının iki katıdır. Altı yıl sonra yaşlarının toplamı 54 olacağına göre bugünkü yaş farkları kaçtır?
20
12
16
18
14
İpucunu gör
Gelecek süreyi iki kişinin yaşına da ekle.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 14
Ali x, Emine 2x yaşında olsun. Altı yıl sonraki toplam (x+6)+(2x+6)=54, yani 3x=42 ve x=14. Bugünkü yaşlar 14 ve 28, fark 14’tür.
29 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Hacimlerin toplandığı kabul edilen bir modelde, 20 litre yüzde 30’luk A bileşenli karışıma yüzde 10’luk aynı bileşenli karışım ekleniyor. Son karışım yüzde 20’lik olacaksa kaç litre eklenmelidir?
25
10
30
20
15
İpucunu gör
Toplam hacmi ve hedef bileşen miktarını ayrı yaz.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 20
Başlangıç A miktarı 20·0,30=6 litredir. x litre eklenirse A miktarı 6+0,10x ve toplam 20+x olur. 6+0,10x=0,20(20+x); 2=0,10x; x=20 litre.
30 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Maliyeti 250 TL olan ürün yüzde 40 kâr hedefiyle etiketlenip etiket üzerinden yüzde 20 indirimle satılıyor. Maliyete göre gerçekleşen kâr yüzde kaçtır?
10
20
16
8
12
İpucunu gör
İndirim etiket fiyatına, kâr oranı maliyete göre hesaplanır.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 12
Etiket 250·1,40=350 TL; satış 350·0,80=280 TL. Kâr 280-250=30 TL. Maliyete göre yüzde 100·30/250=12’dir.
31 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top var. Geri koymadan ardışık iki top çekiliyor. İlk topun kırmızı olduğu bilindiğine göre ikinci topun mavi olma olasılığı kaçtır?
3/7
1/2
3/8
4/7
1/4
İpucunu gör
Verilen ilk çekimden sonra torbada ne kaldığını say.
Yanıt ve gerekçeyi incele
A · 3/7
İlk çekilen kırmızı top geri konmadığından torbada 4 kırmızı ve 3 mavi, toplam 7 top kalır. İkinci topun mavi olma olasılığı 3/7’dir. İlk top bilgisi yeni örnek uzayı belirler.
32 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Beş kişilik bir gruptan bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecek. Aynı kişi iki görevi alamaz. Kaç farklı görevlendirme yapılabilir?
25
15
30
20
10
İpucunu gör
İki görevin farklı olduğunu ve kişinin tekrar seçilemeyeceğini dikkate al.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 20
Başkan için 5 seçim; seçilen başkan dışında yardımcılık için 4 seçim vardır. Görevler farklı olduğundan 5·4=20 görevlendirme olur. Sırayı yok sayıp 10 bulmak isimsiz ikili ekip sayısını verir.
33 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
Bir duraktan otobüs 18, tramvay 24 dakikada bir kalkıyor. Saat 09.00’da birlikte kalktıktan sonra ilk kez yeniden saat kaçta birlikte kalkarlar?
10.00
09.36
10.24
09.48
10.12
İpucunu gör
Tekrar sürelerinin en küçük pozitif ortak katını bul.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 10.12
Birlikte tekrar için EKOK(18,24)=72 dakika gerekir. 09.00’a 72 dakika eklenince 10.12 bulunur. 72 hem 18’in hem 24’ün katıdır; daha küçük pozitif ortak kat yoktur.
34 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
12 öğrencinin puan ortalaması 70, başka 18 öğrencinin puan ortalaması 80’dir. Bu 30 öğrencinin tamamının puan ortalaması kaçtır?
78
76
72
74
75
İpucunu gör
Önce her grubun toplam puanını bul.
Yanıt ve gerekçeyi incele
B · 76
Toplam puan 12·70+18·80=840+1440=2280’dir. Kişi sayısı 30 olduğundan ortalama 2280/30=76. Daha büyük grup 80 ortalamalı olduğu için sonuç 75’ten büyüktür.
35 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
A hizmeti sabit 35 TL ve teslimat başına 8 TL; B hizmeti sabit 65 TL ve teslimat başına 5 TL alıyor. 12 teslimat için B hizmeti A’ya göre kaç TL daha ucuzdur?
15
9
12
3
6
İpucunu gör
Her hizmet için sabit ücret + birim ücret·adet modeli kur.
Yanıt ve gerekçeyi incele
E · 6
A bedeli 35+8·12=131 TL, B bedeli 65+5·12=125 TL. B, 131-125=6 TL daha ucuzdur. Sabit ücretleri dışarıda bırakmak farkı 36 TL sanmaya yol açar.
36 · Çok adımlı problemler ve veri yorumlama
İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 11’dir. Rakamlarının yerleri değiştirilince sayı 9 artıyor. Başlangıç sayısı kaçtır?
65
83
74
56
47
İpucunu gör
İki basamaklı sayıyı 10a+b, tersini 10b+a yaz.
Yanıt ve gerekçeyi incele
D · 56
Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun. a+b=11 ve (10b+a)-(10a+b)=9 olduğundan b-a=1. İki ilişki birlikte a=5, b=6 verir. Sayı 56; ters sayı 65 ve fark 9’dur.