DGS sayısal çalışmasına yönelik özgün bir öğretim bölümü. Tam müfredat, çıkmış soru derlemesi veya sınav eşdeğerliği iddiası taşımaz.
6 çalışma bölümü
12 çözümlü örnek
16 alıştırma bağlantısı
Bu bölümün açıklamaları, kurmaca durumları ve on iki çözümlü örneği bu çalışma için özgün olarak hazırlanmıştır. ÖSYM veya yayınevi soruları kopyalanmamıştır.
Bağımsız insan editör incelemesi ve psikometrik doğrulama beklenmektedir.
Sayısal bir problemde işlemi doğru yapmak, doğru problemi çözdüğünüz anlamına gelmeyebilir. Miktarın neyi anlattığını, hangi koşulun sabit tutulduğunu ve sorunun hangi aşamayı sorduğunu önce belirlemek gerekir. Bu bölümde her çözümü üç iş üzerinden kuracağız: verilenleri birimleriyle temsil etmek, bu temsilden ilişki veya denklem üretmek ve bulunan adayı başlangıç koşullarında denetlemek. Amaç formül sayısını artırmak değil, hangi formülün neden kullanılabildiğini açıklayabilmektir.
Çözüme bakmadan önce bilinmeyeni adlandırın ve kısa bir tablo, eşitlik veya bölge şeması hazırlayın. Sonra cevabın yaklaşık büyüklüğünü ve birimini tahmin edin. Tam çözümde kesirleri gerektiği sürece koruyun; soruda istenmeyen bir yuvarlamayı kendiniz eklemeyin. Yanlış yaptığınızda yalnız doğru sayıyı kaydetmek yerine hatalı adımı bulun: tabanı mı değiştirdiniz, toplamı mı korumadınız, aynı kişiyi iki kez mi saydınız? Bölüm sonlarındaki bağlantılı alıştırmalar mevcut EG Campus havuzundadır. Her birinde aynı denetim alışkanlığını yeni verilere uygulayın. Süre tutmayı, modelinizi açıklayabildiğiniz aşamada ekleyin; bu çalışma herhangi bir puan veya başarı yüzdesi garantisi vermez.
Bu çalışmada
Nicelikleri ortak birimde gösterip başlangıç ve son durum arasında denklem kurmak.
Oran, bütün içindeki pay ve ardışık yüzdelerin değişen tabanını ayırmak.
Sabit hız varsayımlarını okuyup işi aşamalara ve katkılara bölmek.
Kümelerin çakışmayan bölgelerini ve eş olasılıklı temel sonuçları doğru saymak.
Uzunluk, çevre ve alanı uygun birimlerle hesaplayıp fiziksel tutarlılığı denetlemek.
ANLA · GEREKÇELENDİR · DENE
1. Nicelik, birim ve denklem: sözü ölçülebilir ilişkiye çevirmek
Bir problemin sayıları işlem sırasını kendiliğinden göstermez. Önce her sayının neyi ölçtüğünü yazın: uzunluk, süre, para veya nesne sayısı. Sorulan niceliği adlandırın. “Kalan”, “toplam”, “fark” ve “her biri” sözcükleri nicelikler arasındaki ilişkiyi kurar. Bir denklemde iki taraf aynı tür büyüklüğü anlatmalıdır; uzunluk ile parça sayısı doğrudan toplanmaz.
Birim dönüşümünü hesaplamadan önce yapın. Metre ve santimetreyle verilen uzunlukları tek birimde yazın. Toplam uzunluğun parça başına uzunluğa bölümü parça sayısını verir. Bölümün tam sayı olması garanti değildir; tam parça soruluyorsa kesirli cevap kullanılamaz. Artan uzunluğu da denetleyin. Tam verilen ölçüleri ara işlemde yaklaşık değere çevirmeyin.
Bilinmeyenin hangi aşamaya ait olduğunu belirtin. Başlangıçtaki sayı ile aktarım veya satış sonrasındaki sayı farklı olabilir. Adayı yalnız düzenlenmiş denkleme değil, özgün koşullara yerleştirin. Nesne sayısı negatif veya kesirli çıkıyorsa model yanlış kurulmuş ya da verilenler tutarsız olabilir. Yanıt hem eşitliği hem problemin sayma ve ölçme sınırlarını sağlamalıdır.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
İki birimde verilen ip
Uzunluğu tam 7,2 m olan bir ipin 90 cm uzunluğundaki kısmı ayrılacaktır. Kalan ipin tamamı, kesim sırasında uzunluk kaybı olmadan, her biri 45 cm olan eş parçalara bölünüyor.
Soru: Kaç parça elde edilir? Sonucu başlangıç uzunluğuyla nasıl denetlersiniz?
Gerekçeli çözümü incele
Önce bütün uzunlukları santimetreye çevirelim: 7,2 × 100 = 720 cm. Ayrılan 90 cm kullanılamayacağı için parçalanacak uzunluk 720 − 90 = 630 cm olur. 7,2 sayısından 90 çıkarmak farklı birimleri karıştırır.
Parça sayısı 630 cm ÷ (45 cm/parça) = 14 parçadır. Bölme tam sonuç verdiği için ayrıca yarım parça veya kalan ip söz konusu değildir. Burada uzunluk kaybının bulunmaması verilen varsayımdır.
İleri kontrol yapalım: 14 × 45 = 630 cm ve 630 + 90 = 720 cm. On üç parça yalnız 585 cm kullanır; 45 cm daha kaldığından parçalanması gereken kısmın tamamını kullanmış olmaz.
Sonuç: 14 eş parça elde edilir; ayrılan kısımla birlikte toplam uzunluk yine 7,2 m olur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
İki tür kutuyu aynı toplamda saymak
Bir atölyede büyük kutuların her birinde 18, küçük kutuların her birinde 10 bağlantı parçası vardır. Toplam 13 dolu kutuda 186 parça bulunmaktadır. Başka kutu türü veya eksik doldurulmuş kutu yoktur.
Soru: Büyük kutu sayısını bulun.
Gerekçeli çözümü incele
Büyük kutu sayısı x olsun. Toplam 13 kutu bulunduğundan küçük kutu sayısı 13 − x olur. İki türü de 13 kabul edemeyiz; iki sayının toplamı 13 olmalıdır.
Parça toplamı denklemi 18x + 10(13 − x) = 186 olur. Parantezi açınca 18x + 130 − 10x = 186; buradan 8x = 56 ve x = 7 bulunur. Küçük kutu sayısı 13 − 7 = 6’dır.
Adayları özgün koşulda karşılaştıralım. Altı büyük kutu 178, yedi büyük kutu 186, sekiz büyük kutu 194 parça verir. Yedi büyük ve altı küçük kutu hem kutu toplamını hem parça toplamını sağlar.
Büyük kutu adayı değişirken toplam kutu sayısı 13 kalır
Bir uzunluğu başka bir uzunluğa böldüğünüzde sonuç neden her zaman santimetre değildir?
Yanıtı aç
Aynı birimler sadeleşir. Burada toplam uzunluğun parça başına uzunluğa bölümü kaç parça olduğunu verir; sonucu yeniden uzunluk diye etiketlemek niceliği değiştirir.
ANLA · GEREKÇELENDİR · DENE
2. Oran ve yüzde: payı, bütünü ve değişen tabanı ayırmak
Oran iki niceliği karşılaştırır; bütün içindeki pay başka bir karşılaştırmadır. İki grubun oranı 5’e 3 ise toplam sekiz eş pay vardır. İlk grup toplamın sekizde beşidir. Ortak pay büyüklüğünü k ile göstermek ilişkiyi korur. Gerçek adetleri bulmak için toplam, fark veya aktarım gibi ikinci bir bilgi gerekir.
Yüzdede tabanı belirleyin. Artışta yeni miktar başlangıcın 1 + p/100 katı, indirimde 1 − p/100 katıdır. Ardışık değişimlerde ikinci çarpan ilk değişimden sonraki miktara uygulanır. Bu nedenle yüzdeleri doğrudan toplamak veya çıkarmak genellikle yanlıştır. Son miktarla başlangıç arasındaki farkı başlangıca bölerek net değişim oranını bulun.
Aktarım iki grubun toplamını koruyabilir; dışarıdan ekleme veya dışarı çıkarma korumayabilir. Verilen durumu açıkça yazın. Azalma sonrasında eski değere dönüşte taban artık azalmış miktardır. Başlangıç, ara ve son değerleri bir çizelgede izlemek, yüzdelerin hangi miktara uygulandığını gösterir. Bir miktarın aynı oranda azalması ile artması birbirinin tersi değildir.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Aktarım oranı değiştirir, toplamı korur
A ve B dolaplarındaki dosya sayılarının oranı 5 : 3’tür. A dolabından B dolabına 9 dosya aktarılınca iki dolaptaki dosya sayıları eşit oluyor. Hiç dosya eklenmiyor veya çıkarılmıyor.
Soru: Başlangıçta iki dolapta toplam kaç dosya vardır?
Gerekçeli çözümü incele
Başlangıç sayıları A için 5k, B için 3k olsun. Dokuz dosya A’dan eksilirken B’ye eklenir: 5k − 9 = 3k + 9. Aktarımı yalnız bir tarafta göstermek farkın iki yönde kapanmasını kaçırır.
Denklemi çözelim: 5k − 3k = 9 + 9, dolayısıyla 2k = 18 ve k = 9. Başlangıçta A’da 45, B’de 27 dosya vardır. Toplam 45 + 27 = 72’dir.
Koşul kontrolü: A’da 45 − 9 = 36, B’de 27 + 9 = 36 dosya kalır. Son toplam 72’dir. Başlangıç farkı 18 olduğundan bunun yarısı olan 9 dosyanın aktarılması eşitliği açıklar; farkın tamamını aktarmak eşitlik sağlamaz.
Sonuç: Başlangıç toplamı 72 dosyadır; aktarım sonunda iki dolapta 36’şar dosya bulunur.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Ardışık iki yüzdeyi geri denetlemek
Başlangıç fiyatı 1000 TL olan bir ürünün fiyatı önce %20 artırılıyor. Ardından bu yeni fiyat üzerinden %25 indirim uygulanıyor. İşlemler tam olarak uygulanıyor; başka ücret veya yuvarlama yoktur.
Soru: Son fiyat ve başlangıca göre toplam yüzde değişim nedir? Son fiyatı başlangıca döndürecek artış oranı kaçtır?
Gerekçeli çözümü incele
Artış çarpanı 1,20’dir: 1000 × 1,20 = 1200 TL. İndirim çarpanı 0,75’tir: 1200 × 0,75 = 900 TL. İkinci adımda indirim 250 TL değil, yeni tabanın dörtte biri olan 300 TL’dir.
Başlangıçtan fark 900 − 1000 = −100 TL’dir. Başlangıca göre değişim −100/1000 = −1/10 olduğundan toplam %10 azalma vardır. Yüzdeleri 20 − 25 = −5 diye birleştirmek 950 TL adayını üretir; bu aday ikinci işlem koşulunu sağlamaz.
Geri dönüşte taban 900 TL’dir. Gerekli artış 100/900 = 1/9; yüzde olarak tam 100/9, yani %11 1/9’dur. Bu değer burada yaklaşık ondalığa yuvarlanmamıştır. Kontrol: 900 × (1 + 1/9) = 900 × 10/9 = 1000 TL.
Yüzdenin uygulandığı taban her adımda izlenir
Aşama
Taban
İşlem
Sonuç
Artış
1000 TL
× 1,20
1200 TL
İndirim
1200 TL
× 0,75
900 TL
Eski fiyata dönüş
900 TL
× 10/9
1000 TL
Sonuç: Son fiyat 900 TL, net değişim %10 azalmadır. Geri dönüş artışı tam %11 1/9 olur.
Kendini yokla
Bir grubun diğerine oranı 5 : 3 ise ilk grup toplamın hangi kesridir?
Yanıtı aç
Toplam sekiz pay olduğundan 5/8’idir. 5/3 iki grubun birbirine oranıdır; ilk grubun bütün içindeki payı değildir.
ANLA · GEREKÇELENDİR · DENE
3. İş, hız ve süre: tamamlanan miktarı izlemek
Sabit hızda yapılan miktar, hız ile sürenin çarpımıdır. Eş hızdaki makineler için “makine-saat” hesabı toplam çalışma miktarını temsil edebilir. Bunun için iş bölünebilir olmalı, bireysel hızlar sabit kalmalı ve birlikte çalışma ek gecikme veya verim değişimi yaratmamalıdır. Bu varsayımlar kurulmadan makine sayısıyla süre arasında otomatik ters orantı kullanmayın.
Önce tamamlanan miktarı toplamdan çıkarın; kalan miktarı yeni toplam hıza bölün. Sorunun kalan süreyi mi yoksa başlangıçtan itibaren bütün süreyi mi istediğini işaretleyin. Herkesin ortak bir hazırlığı beklemesi veya tek parçayı sırayla işlemesi gerekiyorsa çalışan sayısının artması süreyi aynı oranda azaltmayabilir. Verilen çalışma koşulları modelin sınırıdır.
Hızları farklı makinelerin adetlerini toplayıp eş hız varsaymayın. Her birinin saatlik katkısını bulun. İşin tamamını bir birim seçerseniz hızlar kesir olur; uygun ortak kat kadar iş birimi seçerseniz tam sayılarla yazılabilir. İki gösterim aynı sonucu vermelidir. İş miktarının saat başına miktara bölümü saat verir; birimler işlem yönünü denetler.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Makine sayısı işin ortasında azalırsa
Aynı sabit hızdaki 6 makine bir baskı işini 10 saatte bitirebiliyor. Altısı birlikte 2 saat çalıştıktan sonra 2 makine durduruluyor. İş kalan 4 makineye bölünebiliyor; hazırlık süresi yok ve çalışan makinelerin hızları değişmiyor.
Soru: Kalan iş kaç saatte biter? Başlangıçtan bitişe toplam süre kaç saattir?
Gerekçeli çözümü incele
Toplam iş 6 × 10 = 60 makine-saatlik çalışmadır. İlk aşamada 6 × 2 = 12 makine-saatlik iş yapılır. Kalan iş 60 − 12 = 48 makine-saattir. İlk iki saati sanki hiç iş yapılmamış gibi ele alamayız.
Yeni aşamada 4 makine bulunduğundan kalan süre 48/4 = 12 saattir. Sorulan ikinci süreye ilk aşamayı da ekleriz: 2 + 12 = 14 saat. On iki saat, yalnız makineler durdurulduktan sonraki süredir.
Aday denetimi: Kalan süreyi 10 saat seçmek, 12 + 4 × 10 = 52 makine-saat verir; 60’a ulaşmaz. Doğru adayda 12 + 4 × 12 = 60 olur. Toplam sürenin 10 saatten uzun çıkması da makine sayısının azalmasıyla uyumludur.
Sonuç: Kalan iş 12 saatte; işin tamamı başlangıçtan itibaren 14 saatte biter.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Farklı hızları ortak iş biriminde toplamak
A tarayıcısı bir arşivi tek başına 8 saatte, B tarayıcısı aynı arşivi tek başına 12 saatte sayısallaştırabiliyor. Hızlar sabit; sayfalar bölünebiliyor ve birlikte çalışma hızları değiştirmiyor. İki tarayıcı 2 saat birlikte çalışıyor, ardından yalnız B devam ediyor.
Soru: B’nin son aşamada çalışma süresini ve toplam geçen süreyi bulun.
Gerekçeli çözümü incele
İşin tamamına 24 iş birimi diyelim. A’nın hızı 24/8 = 3, B’nin hızı 24/12 = 2 iş birimi/saattir. Birlikte hızları 5 iş birimi/saat olduğundan ilk 2 saatte 10 birim tamamlanır.
Kalan miktar 24 − 10 = 14 birimdir. B saatte 2 birim yaptığı için son aşama 14/2 = 7 saat sürer. Toplam geçen süre 2 + 7 = 9 saattir. A’nın çalışma süresi 2 saat, B’ninki toplam 9 saattir.
Kesirle bağımsız kontrol: ortak saatlik hız 1/8 + 1/12 = 5/24 arşivdir. İki saatte 5/12’si biter, 7/12’si kalır. (7/12)/(1/12) = 7 saat. Son denetimde 2 × 3 + 9 × 2 = 24 iş birimi elde edilir.
Hızları farklı tarayıcıların ayrı katkıları
Tarayıcı
Hız (iş birimi/saat)
Toplam çalışma (saat)
Tamamlanan iş birimi
A
3
2
6
B
2
9
18
Toplam
—
—
24
Sonuç: B son aşamada 7 saat daha çalışır; toplam süre 9 saattir.
Kendini yokla
Bir makine durduktan sonra çalışan diğerinin hızı artmış sayılır mı?
Yanıtı aç
Hayır. Böyle bir değişim ayrıca verilmedikçe bireysel hız korunur. Azalan şey toplam hızdır; aynı kalan miktar bu yeni hızla tamamlanır.
ANLA · GEREKÇELENDİR · DENE
4. Ortalama ve tablo: toplamı doğru ağırlıkla kurmak
Aritmetik ortalama, toplamın gözlem sayısına bölümüdür. Ortalama ile gözlem sayısı birlikte biliniyorsa toplam geri kurulabilir. Eşit olmayan grupların ortalamalarına eşit ağırlık vermek, küçük grubu olduğundan etkili sayar. Ayrı gruplar aynı niceliği aynı birimde ölçüyorsa birleşik ortalama, toplamların toplamının gözlem sayıları toplamına bölümüdür. Ağırlıklar gözlem sayılarıdır.
Tablo okumada başlıkları ve birimleri inceleyin. Adetle birim fiyatın aynı satırdaki çarpımı para tutarı verir. Farklı ürünlerin adetlerini toplamak toplam adedi gösterir; gelir için yeterli değildir. Bir depoda daha çok koli bulunması da kapasitesine göre doluluğunun daha yüksek olduğunu göstermez. Hesaplamadan önce istenen karşılaştırmanın ölçütünü belirtin.
Eksik değer sorulduğunda hedef ortalamayı önce hedef toplama dönüştürün. Kayıt düzeltmesinde gözlem sayısının değişip değişmediğini sorun. Eski değerin çıkarılıp yenisinin eklenmesinde adet korunur. Pozitif adetli iki grubun birleşik ortalaması grup ortalamaları arasında kalmalıdır. Ancak yalnız bu aralıkta olması yetmez; doğru ağırlıkların kullanıldığını toplam üzerinden de gösterin.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Grup ortalamalarına eşit ağırlık vermemek
Bir atölyede birbirinden farklı beş işin tamamlanma sürelerinin ortalaması 24 dakikadır. Bunlardan farklı üç işin tamamlanma sürelerinin ortalaması 40 dakikadır. Sekiz işin tamamı için her iş bir gözlem sayılacaktır.
Soru: Sekiz işin ortalama tamamlanma süresi kaç dakikadır?
Gerekçeli çözümü incele
İlk beş işin süre toplamı 5 × 24 = 120 dakikadır. Diğer üç işin süre toplamı 3 × 40 = 120 dakikadır. İki grubun aynı süre toplamına sahip olması, aynı sayıda iş içerdiği anlamına gelmez.
Toplam süre 120 + 120 = 240 dakika, toplam gözlem sayısı 5 + 3 = 8’dir. Birleşik ortalama 240/8 = 30 dakikadır. Bu hesap işlerin ardışık yapıldığını iddia etmez; ölçülen sürelerin aritmetik toplamını kullanır.
Basit ortalama adayı (24 + 40)/2 = 32’dir. Bu aday sekiz iş için 8 × 32 = 256 dakikalık toplam gerektirir; bilinen toplam 240 olduğundan elenir. Doğru sonuç 24 ile 40 arasındadır ve daha kalabalık olan 24 dakikalık gruba daha yakındır.
Sonuç: Ortalama 30 dakikadır; beş ve üç gözlem kendi sayılarıyla ağırlıklandırılır.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Daha fazla adet, hangi gelir farkını verir?
Bir satış masasındaki üç ürünün birim fiyatları ve iki gündeki satış adetleri tabloda verilmiştir. Fiyatlar iki gün boyunca sabittir; indirim, iade veya başka gelir yoktur.
Sabit birim fiyatlarla iki günlük satış
Ürün
Birim fiyat (TL/adet)
1. gün (adet)
2. gün (adet)
Defter
30
12
8
Dosya
18
20
25
Rozet
12
5
8
Soru: İkinci gün toplam satış geliri birinci güne göre kaç TL değişmiştir?
Gerekçeli çözümü incele
Birinci gün geliri ürün bazında hesaplanır: 12 × 30 = 360 TL, 20 × 18 = 360 TL, 5 × 12 = 60 TL. Toplam 360 + 360 + 60 = 780 TL’dir. Fiyat sütunu tek başına toplanarak günlük gelir bulunamaz.
İkinci gün geliri 8 × 30 + 25 × 18 + 8 × 12 = 240 + 450 + 96 = 786 TL’dir. Farkı ikinci günden birinci günü çıkararak buluruz: 786 − 780 = 6 TL; işaret pozitif olduğundan artış vardır.
Satır farklarıyla kontrol: defter geliri 120 TL azalır, dosya geliri 90 TL ve rozet geliri 36 TL artar. −120 + 90 + 36 = 6 TL. Toplam adet 37’den 41’e çıkmıştır; dört fazla adet tek başına kaç TL arttığını söylemez.
Sonuç: İkinci gün gelir 6 TL artmıştır.
Kendini yokla
Bir kayıttaki değer düzeltiliyor, başka kayıt eklenmiyor veya silinmiyorsa ortalamanın paydası değişir mi?
Yanıtı aç
Hayır. Toplam, yanlış değerin çıkarılıp doğrunun eklenmesiyle değişir; gözlem sayısı aynı kalır.
ANLA · GEREKÇELENDİR · DENE
5. Kümeler ve olasılık: kişiyi bir kez, sonucu doğru ağırlıkla saymak
İki listede bulunan kişi iki kişi değildir. Kümelerde dört bölgeyi ayırın: yalnız A, yalnız B, ikisi birden ve hiçbiri. Bu bölgeler çakışmaz; toplamları evreni verir. A ve B sayılarını topladığınızda ortak kişiler iki kez sayılır. En az birine ait olanları bulurken ortak bölgeyi bir kez çıkarın. “Tam olarak biri” ortak bölgeyi içermez.
Sayıların tutarlılığını denetleyin. Kesişim herhangi bir kümeden büyük, yalnız bölge sayıları negatif olamaz. Hiçbirine ait olmayanlarla en az birine ait olanların toplamı bütün grubu vermelidir. Dört bölmeli tablo, aynı kişinin nerede sayıldığını gösterir. Formülü uygularken hangi bölgenin neden çıkarıldığını açıklamak, farklı sorulan nicelikleri ayırmanıza yardım eder.
Olasılıkta istenen durum sayısını bütün durum sayısına bölmek, temel durumların eş olasılıklı olmasını gerektirir. Farklı adetlerdeki renkler eş olasılıklı değildir; tek tek toplar olabilir. Geri koymadan çekilişte toplam ve renk sayıları değişir. Sıralı sonuç kullanıyorsanız payı ve paydayı sıralı sayın. Birbirini dışlayan yollar toplanır; örtüşen durumlar iki kez eklenmez.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
En az bir atölye ile yalnız bir atölyeyi ayırmak
48 kişilik bir grupta 18 kişi çizim, 27 kişi müzik atölyesine kayıtlıdır. Dokuz kişi bu iki atölyenin hiçbirine kayıtlı değildir. Her kişi grup içinde bir kez sayılmaktadır.
Soru: İki atölyeye birden ve tam olarak bir atölyeye kayıtlı kişi sayılarını bulun.
Gerekçeli çözümü incele
En az bir atölyeye kayıtlı kişiler 48 − 9 = 39 kişidir. Çizim ve müzik listelerinin toplamı 18 + 27 = 45’tir. Ortak kişiler bu toplamda iki kez bulunduğundan kesişim 45 − 39 = 6 kişidir.
Yalnız çizim 18 − 6 = 12, yalnız müzik 27 − 6 = 21 kişidir. Tam olarak bir atölyedekiler 12 + 21 = 33 kişidir. En az birindeki 39 kişiyi cevap vermek, iki atölyeye de katılan altı kişiyi istenmeyen gruba ekler.
Dört bölge kontrolü: 12 + 21 + 6 + 9 = 48. Çizim için 12 + 6 = 18, müzik için 21 + 6 = 27 olur. Bütün sayılar negatif olmayan tam sayıdır; ortak bölge iki atölyenin de toplamını aşmaz.
Kişilerin çakışmayan dört gruba ayrılması
Bölge
Kişi sayısı
Yalnız çizim
12
Yalnız müzik
21
İkisi birden
6
Hiçbiri
9
Sonuç: İki atölyeye birden 6, tam olarak birine 33 kişi kayıtlıdır.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Geri koymadan iki renk çekmek
Bir torbada birbirinden ayırt edilebilen, aynı boyut ve ağırlıkta 5 mavi, 3 turuncu, 2 beyaz top vardır. Torba karıştırılıyor. Art arda iki top çekiliyor; ilk top geri konulmuyor. Her çekilişte kalan her topun seçilme olasılığı eşittir.
Soru: Çekilenlerden birinin mavi, diğerinin turuncu olma olasılığı nedir?
Gerekçeli çözümü incele
İstenen olayın iki ayrı sırası vardır. Önce mavi, sonra turuncu için (5/10) × (3/9) = 15/90 = 1/6 bulunur. İlk mavi top çıkarılınca turuncu sayısı 3 kalır, toplam top sayısı 9 olur.
Önce turuncu, sonra mavi için (3/10) × (5/9) = 15/90 = 1/6’dır. Bu yollar aynı çekiliş dizisinde birlikte gerçekleşemeyeceğinden toplanır: 1/6 + 1/6 = 1/3. Beyaz içeren veya aynı renkli çekilişler istenen olayın dışındadır.
Saymayla kontrol: iki çekiliş için 10 × 9 = 90 sıralı, eş olasılıklı top çifti vardır. İstenenler 5 × 3 + 3 × 5 = 30 çifttir; 30/90 = 1/3. Payı sırasız, paydayı sıralı saymak doğru oran vermez.
Sonuç: Olasılık tam 1/3’tür; geri koymama ikinci çekilişin paydasını 9 yapar.
Kendini yokla
Tam olarak bir özelliği taşıyanları bulurken iki özelliği birden taşıyanları ekler misiniz?
Yanıtı aç
Hayır. Yalnız A ve yalnız B bölgeleri eklenir. Ortak bölge, en az bir özelliği taşıyanlara dahildir; tam olarak birini taşıyanlara dahil değildir.
ANLA · GEREKÇELENDİR · DENE
6. Geometride uzunluk ve alan: aynı şekli farklı niceliklerle okumak
Önce istenenin uzunluk mu alan mı olduğunu belirleyin. Çevre sınır uzunluğudur; santimetre veya metreyle yazılır. Alan yüzey büyüklüğüdür; santimetrekare veya metrekareyle yazılır. Dikdörtgende alan dik kenarların çarpımıdır; üçgende tabanla o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Her kenar yükseklik değildir. Ölçekli denmeyen çizimden ölçü veya eşitlik çıkarmayın.
Bazen küçük parçaları toplamak yerine büyük alandan çıkarılan kısmı hesaplamak daha açıktır. Parçaların örtüşüp örtüşmediğini denetleyin. İçteki yol karşılıklı iki tarafta bulunduğundan orta dikdörtgenin her boyutu yol genişliğinin iki katı kadar azalır. Genişlik kısa kenarın yarısına ulaşırsa pozitif boyutlu orta dikdörtgen kalmaz. Uzunlukların fiziksel olarak mümkün olduğunu kontrol edin.
Benzer şekillerde bütün uzunluklar k ile değişirse çevre k, alan k² ile değişir. Yalnız bir kenarı büyütmek bütün şekli aynı oranda büyütmek değildir. Alan eşitliği de çevre eşitliği anlamına gelmez. Birim dönüşümünde alan iki uzunluğun çarpımı olduğu için katsayı iki kez kullanılır. Cevabın birimini ve bütün bölgeyi aşıp aşmadığını denetleyin.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
İç yolun köşelerini iki kez saymamak
Kenarları 18 m ve 12 m olan dikdörtgen bir avlunun iç tarafında, dört kenarın tamamı boyunca 1,5 m genişliğinde bir yol ayrılıyor. Ortada yine dikdörtgen biçimli bir bölge kalıyor.
Soru: Yolun toplam alanını bulun.
Gerekçeli çözümü incele
Bütün avlunun alanı 18 × 12 = 216 m²’dir. Yol uzun kenarın iki ucunda da yer kapladığından orta bölgenin bir boyutu 18 − 2 × 1,5 = 15 m olur. Diğer boyut 12 − 3 = 9 m’dir; ikisi de pozitiftir.
Orta alan 15 × 9 = 135 m² olur. Yol alanı bütün alandan orta alan çıkarılarak 216 − 135 = 81 m² bulunur. 216 − 15 veya 135 − 1,5 gibi işlemler alanla uzunluğu aynı toplama sokar; kurulamaz.
Yanlış aday kontrolü: dış çevreyi genişlikle çarpmak 2 × (18 + 12) × 1,5 = 90 m² verir. Dört köşedeki 1,5 × 1,5 = 2,25 m²’lik bölgeler bu şerit toplamında iki kez sayılmıştır. Fazla 4 × 2,25 = 9 m² çıkarılınca yine 81 m² elde edilir.
Sonuç: Yol alanı 81 m²’dir; cevap bir uzunluk değil yüzey alanıdır.
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK
Bütün kenarları büyütmek alanı nasıl değiştirir?
Dik kenarları 6 cm ve 8 cm, hipotenüsü 10 cm olan bir dik üçgenin benzeri çiziliyor. Yeni üçgende her kenar eskisinin 3/2 katıdır. Çizimde bütün uzunluklar aynı oranda büyütülmüştür.
Soru: Yeni üçgenin alanı ve çevresi nedir? Alan ile çevrenin değişim oranları aynı mıdır?
Gerekçeli çözümü incele
Yeni kenarlar 6 × 3/2 = 9 cm, 8 × 3/2 = 12 cm ve 10 × 3/2 = 15 cm’dir. Dik kenarlar yine birbirine diktir. Eski alan 6 × 8/2 = 24 cm², yeni alan 9 × 12/2 = 54 cm² olur.
Eski çevre 6 + 8 + 10 = 24 cm’dir. Yeni çevre 9 + 12 + 15 = 36 cm’dir. Çevre çarpanı 36/24 = 3/2 iken alan çarpanı 54/24 = 9/4, yani (3/2)² olur.
Alanı yalnız 3/2 ile çarpan aday 24 × 3/2 = 36 cm² bulur; oysa iki dik kenarın çarpımıyla hesaplanan 54 cm²’yi sağlamaz. İkinci denetim olarak yeni dik kenarlar için 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15² ilişkisi de kenar ölçülerinin tutarlılığını doğrular.
Uzunluk ve alan farklı çarpanlarla değişir
Nicelik
Eski üçgen
Yeni üçgen
Çarpan
Dik kenarlar
6 cm; 8 cm
9 cm; 12 cm
3/2
Çevre
24 cm
36 cm
3/2
Alan
24 cm²
54 cm²
9/4
Sonuç: Yeni alan 54 cm², çevre 36 cm’dir. Uzunluk çarpanı 3/2, alan çarpanı 9/4’tür.
Kendini yokla
İçte ayrılan yolun genişliği biliniyorsa orta dikdörtgenin bir boyutundan yalnız bir genişlik mi çıkarılır?
Yanıtı aç
Hayır. Yol o boyutun iki ucunda da bulunur. Karşılıklı iki kenar boyunca ayrılan toplam genişlik çıkarılır; kalan boyutun pozitifliği ayrıca kontrol edilir.
Bir sonraki çalışma oturumun
Her bölümden sonra bağlantılı bir soruyu çözün. İşlemlere başlamadan önce “Bilinmeyen nedir, hangi nicelik korunuyor, hangi birimi kullanıyorum?” sorularını yanıtlayın. Çözüm sonunda cevabı özgün verilere geri yerleştirin; yalnız son sayıyla yetinmeyin.
Hata kaydınıza gözlenebilir bir adım yazın: “ikinci yüzdeyi eski tabana uyguladım”, “aktarımı tek tarafta gösterdim”, “kalan süreyle toplam süreyi karıştırdım” veya “payı ve paydayı farklı biçimde saydım”. Sonraki çalışmada önce bu adımı denetleyin.
Aynı yöntemi farklı sayılarla değil, farklı bir bağlamdaki soruyla da sınayın. Birden çok temsil kurabiliyorsanız denklem ile tabloyu veya kesirli hız ile ortak iş birimini karşılaştırın. Hızlanırken birim ve aday kontrolünü kaldırmayın; bir çalışmanın süresi tek başına öğrenme veya sınav başarısı ölçüsü değildir.