WEBVTT

NOTE Bölüm sınırları gerçek ses sürelerinden ölçülür; bölüm içi altyazı zamanları yaklaşık eşlemedir.

1
00:00:00.000 --> 00:00:08.967
EG Campus. Polinomlar: yapı, kalan ve cebirsel model. Bu kayıt, mevcut kaynaklı bölüm metninin bilgisayarın Türkçe sentetik sesiyle

2
00:00:08.967 --> 00:00:17.935
okunmasıdır. İnsan konuşmacı kaydı değildir. Çalışma hedefleri. Bu bölümde Bir ifadenin polinom olmasını üs ve katsayı koşullarıyla değerlendirir;

3
00:00:17.935 --> 00:00:26.902
sadeleştirdikten sonra derecesini belirler.. Katsayı karşılaştırma, P(0), P(1) ve P(−1) değerlerini uygun amaçla kullanır.. Bölme özdeşliği, kalan teoremi

4
00:00:26.902 --> 00:00:35.869
ve çarpan ilişkileriyle bilinmeyen katsayı veya kalan polinomunu bulur.. Bir geometrik hacim modelini polinomla ifade eder; cebirsel tanım

5
00:00:35.869 --> 00:00:44.836
ile fiziksel değişken aralığını ayırır.

6
00:00:44.836 --> 00:00:53.810
Bölümün amacı ve kaynakların sınırı. Bu bölüm polinom sorularında hangi yöntemin ne zaman işe yaradığını öğretir. Amaç, her

7
00:00:53.810 --> 00:01:02.783
ifadeyi uzun uzun açmak yerine yapıyı okuyabilmektir. MEB’in arşiv kazanım listesinde bir değişkenli polinom, işlemler, çarpanlara ayırma ve

8
00:01:02.783 --> 00:01:11.757
rasyonel ifadelerin sadeleştirilmesi yer alır. Buradaki kalan ve kimlik uygulamaları bu cebirsel yapıların özgün alıştırmalarıdır. Kaynakçada yıl verilmemiş

9
00:01:11.757 --> 00:01:20.730
arşiv materyali için t.y. kullanılır; 2026 ÖSYM duyurusu ile arşiv materyalinin yayın yılı aynı sayılmaz. Bu bölüm ve

10
00:01:20.730 --> 00:01:29.704
otuz sorusu tam AYT matematik kapsamı ya da herhangi bir sınavda çıkacak soru sayısı garantisi vermez.

11
00:01:29.704 --> 00:01:38.853
Polinom olma ve derece koşulu. P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ ifadesinde değişkenin üsleri negatif

12
00:01:38.853 --> 00:01:48.003
olmayan tam sayılardır; katsayılar burada gerçek sayıdır. 3x² − 2x + 1 polinomdur; x⁻¹ + 2 ve √x

13
00:01:48.003 --> 00:01:57.153
+ 1 bu biçimde polinom değildir. Katsayının √2 olması ise sorun oluşturmaz: √2·x² bir polinomdur. Derece, sadeleştirmeden sonra

14
00:01:57.153 --> 00:02:06.303
katsayısı sıfır olmayan en büyük kuvvettir. (a − 2)x³ + x ifadesinin derecesi a = 2’de 1, diğer

15
00:02:06.303 --> 00:02:15.453
a değerlerinde 3’tür. Sıfır olmayan sabit polinomun derecesi 0’dır. Sıfır polinomuna bu bölümde bir derece atamayız.

16
00:02:15.453 --> 00:02:25.560
Katsayıları okumak ve özel girdileri seçmek. P(0) sabit terimi, P(1) bütün katsayıların toplamını verir. P(−1), çift kuvvetli terimlerin

17
00:02:25.560 --> 00:02:35.668
katsayıları toplamından tek kuvvetlileri çıkarır. Bu değerleri kullanmak, büyük çarpımları gereksiz yere açmayı önler. P(x) = (x −

18
00:02:35.668 --> 00:02:45.775
1)(x + 4)² + 2x − 5 için katsayılar toplamı P(1) = −3’tür. İstenen belirli bir kuvvetin katsayısıysa

19
00:02:45.775 --> 00:02:55.882
yalnız o kuvveti üreten çarpımları takip edebiliriz. (3x − 2)(x² + x + 1) içinde x² katsayısı 3

20
00:02:55.882 --> 00:03:05.989
− 2 = 1’dir. İşaretleri korumak ve aynı kuvvetli terimleri toplamak, özellikle çok terimli çarpımlarda önem taşır.

21
00:03:05.989 --> 00:03:15.497
Polinom özdeşliği ile bir denklem aynı değildir. Bir polinom özdeşliği bütün gerçek x değerleri için doğrudur; bu nedenle

22
00:03:15.497 --> 00:03:25.004
aynı kuvvetli terimlerin katsayıları eşittir. Ax² + Bx + C = 2x² − x + 4 özdeşliğinden A

23
00:03:25.004 --> 00:03:34.512
= 2, B = −1, C = 4 çıkar. Buna karşılık eşitlik yalnız belirli bir x için verilmişse

24
00:03:34.512 --> 00:03:44.020
üç katsayıyı bu tek koşuldan belirleyemeyiz. Örneğin x = 0 koşulu yalnız C’yi belirler. (x − 2)P(x) =

25
00:03:44.020 --> 00:03:53.528
x² − 4 bütün x’lerde geçerliyse P(x) = x + 2 polinomudur. İlk eşitlikte x = 2 koyunca

26
00:03:53.528 --> 00:04:03.035
0 = 0 görülmesi, P(2)’nin belirsiz olduğu anlamına gelmez; bütün girdilerdeki kimlik bilgisi değeri belirler.

27
00:04:03.035 --> 00:04:12.278
Bölme özdeşliği ve kalan teoremi. Bir polinomu sıfır olmayan D(x) polinomuna böldüğümüzde P(x) = D(x)Q(x) + R(x) yazılır.

28
00:04:12.278 --> 00:04:21.521
Kalan sıfır olabilir; sıfır değilse derecesi bölenin derecesinden küçüktür. D(x) = x − a için kalan sabittir ve

29
00:04:21.521 --> 00:04:30.764
x = a konunca P(a) = R bulunur. Bu nedenle uzun bölme yapmadan kalanı hesaplayabiliriz. P(a) = 0

30
00:04:30.764 --> 00:04:40.007
ise x − a bir çarpandır. Bölen 2x − 6 olduğunda sıfır olduğu değer 3’tür; kalan P(3) olur.

31
00:04:40.007 --> 00:04:49.249
Baş katsayı, yerine konacak girdiyi değiştirmez; böleni sıfırlayan değeri doğru bulmak gerekir.

32
00:04:49.249 --> 00:04:57.465
İkinci dereceli bölen: iki koşullu kalan. Bölen (x − a)(x − b) ve a ≠ b ise kalan

33
00:04:57.465 --> 00:05:05.681
R(x) = ux + v biçiminde yazılır. P(a) = ua + v ve P(b) = ub + v

34
00:05:05.681 --> 00:05:13.896
denklemleri iki bilinmeyeni belirler. Örneğin P(0) = 2, P(3) = 8 için x(x − 3) ile bölümün kalanı

35
00:05:13.896 --> 00:05:22.112
2x + 2’dir. İki farklı kök koşulu önemlidir; (x − a)² böleninde aynı girdiyi iki kez kullanmak ikinci

36
00:05:22.112 --> 00:05:30.328
bağımsız denklem üretmez. Bölüm ve kalan doğrudan verildiğinde ise bölme özdeşliğini kurarız. P(t), yalnız bölen t’de sıfırsa R(t)’ye

37
00:05:30.328 --> 00:05:38.543
eşittir; her girdide kalanla aynı değer değildir.

38
00:05:38.543 --> 00:05:46.733
Çarpanlar, sadeleştirme ve derece kaybı. Kök a, x − a çarpanını verir; ancak baş katsayı ayrıca korunur. Baş

39
00:05:46.733 --> 00:05:54.923
katsayısı 2, kökleri 1 ve −3 olan ikinci dereceden polinom 2(x − 1)(x + 3)’tür. Rasyonel ifadede (x²

40
00:05:54.923 --> 00:06:03.112
− 9)/(x − 3) = x + 3 sadeleştirmesi yalnız x ≠ 3 için geçerlidir; özgün kesir 3’te

41
00:06:03.112 --> 00:06:11.302
tanımsızdır. Polinom kimliği sorusu ile kesrin tanım kümesi sorusu farklıdır. İşlemlerde dereceler de dikkat ister: sıfır olmayan polinomların

42
00:06:11.302 --> 00:06:19.491
çarpımında dereceler toplanır, fakat toplama ve çıkarmada baş terimler yok olabilir. (x² + 1) − x² sonucunun derecesi

43
00:06:19.491 --> 00:06:27.681
2 değil 0’dır.

44
00:06:27.681 --> 00:06:36.346
Cebirsel kuralı fiziksel modele bağlamak. Bir kartondan kutu oluşturma probleminde hacim, üç uzunluğun çarpımıdır. L × W kartonun

45
00:06:36.346 --> 00:06:45.011
köşelerinden x kenarlı kare kesilirse yükseklik x, taban boyutları L − 2x ve W − 2x olur. V(x)

46
00:06:45.011 --> 00:06:53.676
= x(L − 2x)(W − 2x) polinomu cebirsel olarak bütün gerçeklerde hesaplanabilir. Ancak kutu modeli için x >

47
00:06:53.676 --> 00:07:02.342
0 ve iki taban kenarı da pozitif olmalıdır; dolayısıyla 0 < x < min(L, W)/2 gerekir. Birimleri de

48
00:07:02.342 --> 00:07:11.007
koruruz: santimetre cinsinden üç uzunluğun çarpımı cm³ verir. Bir soruyu bitirirken katsayı hesabını, işaretleri, dereceyi ve bağlamdaki izin

49
00:07:11.007 --> 00:07:19.672
verilen aralığı ayrı kontrol etmek hata yakalamayı kolaylaştırır.

50
00:07:19.672 --> 00:07:29.309
Gerekçeli örnek 1. P(2) = 7 ve P(−1) = −2. P(x)’in (x − 2)(x + 1) ile bölümünden

51
00:07:29.309 --> 00:07:38.947
kalanı bulun; ardından kalan polinomunun 0’daki değerini hesaplayın. Bölen ikinci dereceli olduğundan R(x) = ux + v yazılır.

52
00:07:38.947 --> 00:07:48.584
x = 2 ve x = −1’de bölen sıfırdır; 2u + v = 7 ve −u + v

53
00:07:48.584 --> 00:07:58.222
= −2. İlk denklemden ikinciyi çıkarınca 3u = 9, u = 3; v = 1. Kalan 3x +

54
00:07:58.222 --> 00:08:07.859
1, onun 0’daki değeri 1’dir. Bu bilgi P(0) = 1 demek değildir: 0’da bölen −2’dir ve bilinmeyen bölüm

55
00:08:07.859 --> 00:08:17.496
de P(0)’a katkı verebilir. Verilen iki nokta kalan polinomunu belirler; bütün bölünen polinomunu belirlemez.

56
00:08:17.496 --> 00:08:27.228
Gerekçeli örnek 2. 16 cm × 10 cm kartondan üstü açık kutu için her köşeden x cm kenarlı

57
00:08:27.228 --> 00:08:36.960
kare kesiliyor. Hacim polinomunu ve fiziksel tanım aralığını bulun; x = 2 için hacmi denetleyin. Taban boyutları 16

58
00:08:36.960 --> 00:08:46.692
− 2x ve 10 − 2x, yükseklik x olur. V(x) = x(16 − 2x)(10 − 2x) = 4x³

59
00:08:46.692 --> 00:08:56.424
− 52x² + 160x. Pozitif uzunluk koşulları x > 0, x < 8 ve x < 5’tir; birlikte

60
00:08:56.424 --> 00:09:06.155
0 < x < 5 gerekir. x = 2 bu aralıkta yer alır. Doğrudan boyutlarla hacim 2·12·6 =

61
00:09:06.155 --> 00:09:15.887
144 cm³. Polinom üzerinden 4·8 − 52·4 + 160·2 = 32 − 208 + 320 = 144 cm³

62
00:09:15.887 --> 00:09:25.619
elde edilir. İki hesap aynı modeli doğrular; x = 5’te kısa taban sıfır olur ve kutu oluşmaz.

63
00:09:25.619 --> 00:09:33.820
Yanılgıyı düzelt. İki polinomun farkının derecesi, derecelerinin en büyüğüdür. Düzeltme: Bu yalnız en yüksek dereceli terimler birbirini götürmüyorsa

64
00:09:33.820 --> 00:09:42.021
doğrudur. Çıkarma ve toplama sonrası sıfır olmayan en yüksek kuvvet yeniden bulunmalıdır.