Çalışma hedefleri
EG Campus. Fonksiyonlar: girdi, görüntü, bileşke ve ters. Bu kayıt, mevcut kaynaklı bölüm metninin bilgisayarın Türkçe sentetik sesiyle okunmasıdır. İnsan konuşmacı kaydı değildir. Çalışma hedefleri. Bu bölümde Bir bağıntının fonksiyon olmasını, her girdiye tam bir görüntü atanması üzerinden gerekçelendirir.. Karekök ve payda kısıtlarını birlikte kullanarak gerçek tanım kümesini bulur.. Bileşke ve ters fonksiyon sorularında işlem sırasını, bire birlik ve örtenlik koşullarını denetler.. Parçalı, tek ve doğrusal fonksiyonları kullanarak bir modeli kurar; sonucu tanım kümesi ve bağlam ile sınar.

Bu bölümün kapsamı ve çalışma yolu
Bu bölümün kapsamı ve çalışma yolu. Bu özgün başlangıç bölümünde fonksiyonu bir kural ezberi olarak değil, girdiler ile görüntüler arasındaki düzen olarak çalışacağız. Önce kümeleri ve izin verilen girdileri belirleyecek, sonra bileşke ve ters işlemlerine geçeceğiz. MEB’in arşiv kazanım listesi fonksiyon problemlerini, grafikleri, bire birliği, örtenliği, bileşkeyi ve tersi içerir. Kaynakçada 2026 ÖSYM duyurusu sınav yılı çerçevesini gösterir; MEB arşivinin yayın yılı belirtilmediği için onu 2026 müfredatı diye adlandırmıyoruz. Bu üç konuluk paket tam AYT kapsamı veya resmî soru dağılımı değildir. Buradaki otuz soru özgündür; ÖSYM sorusu veya onayı olarak sunulmaz.

Tanım, değer ve görüntü kümelerini ayır
Tanım, değer ve görüntü kümelerini ayır. f: A ; sonra B gösteriminde A tanım kümesi, B değer kümesidir. Her a ∈ A için B’de tam bir f(a) bulunmalıdır. Bir girdinin iki farklı görüntüsü olması veya hiç görüntüsü olmaması fonksiyon koşulunu bozar. Farklı girdilerin aynı görüntüye gitmesi ise mümkündür: f(x) = x² kuralında 2 ve −2 aynı 4 görüntüsünü verir. Görüntü kümesi f(A), gerçekten elde edilen değerlerden oluşur ve B’nin alt kümesidir. Örneğin gerçek sayılar ; sonra gerçek sayılar tanımlı x² fonksiyonunun görüntü kümesi [0, ∞), değer kümesi gerçek sayılar’dir. Bu ayrım örtenlik sorularında belirleyicidir.

Cebirsel tanım kümesi: koşulları birlikte uygula
Cebirsel tanım kümesi: koşulları birlikte uygula. Bir kuralın gerçek sayılarda anlamlı olması için bütün işlemleri kontrol ederiz. Payda sıfır olamaz; karekök içi negatif olamaz. f(x) = √(9 − x)/(x + 1) için x küçük veya eşit 9 ve x ≠ −1 birlikte gerekir. İzin verilen küme (−∞, −1) ∪ (−1, 9] olur. 9 alınır, çünkü karekökün sıfır olması yasak değildir. Bir kısıtı bulmak diğerini ortadan kaldırmaz. Soruda daha dar bir tanım kümesi verilmişse bu kümenin dışına çıkamayız. Cebirsel sadeleştirme de başlangıçta yasak olan bir girdiyi kendiliğinden geri getirmez; tanım bilgisi işlem boyunca taşınır.

Grafiği ve parçalı kuralı okumak
Grafiği ve parçalı kuralı okumak. Grafikte yatay eksen girdiyi, dikey eksen görüntüyü gösterir. Aynı x değerinden geçen dikey doğru grafiği birden fazla noktada kesiyorsa o çizim o tanım kümesinde fonksiyon değildir. Parçalı kurallarda önce girdinin hangi aralığa ait olduğuna bakılır. f(x) = x + 1, x < 2 için; f(x) = 3x, x büyük veya eşit 2 için verilmişse f(2) = 6’dır. Eşitliğin bulunduğu dal sınır değerini belirler. f(f(1)) hesaplanırken ilk sonuç 2 olur; dış işlem için artık x büyük veya eşit 2 dalı seçilir ve sonuç 6 çıkar. Her yeni girdi yeni bir dal kontrolü gerektirir.

Bire birlik ve örtenlik: kural kadar kümeler de önemlidir
Bire birlik ve örtenlik: kural kadar kümeler de önemlidir. Bire birlik, aynı görüntünün iki farklı girdiden gelmemesidir: f(a) = f(b) ise a = b olmalıdır. Örtenlik, değer kümesinin her elemanının en az bir girdinin görüntüsü olmasıdır; f(A) = B gerekir. f(x) = x² kuralı gerçek sayılar üzerinde bire bir değildir; [0, ∞) üzerinde bire birdir. Değer kümesi [0, ∞) seçilirse bu daraltılmış fonksiyon örten de olur. Sonlu kümelerde fonksiyon sayısını görüntü seçimiyle sayabiliriz. Üç girdiden iki değerli kümeye 2³ fonksiyon vardır. Örtenleri sayarken kullanılmayan görüntüler bırakan iki sabit kural çıkarılır. Bire bir ile örten aynı özellik değildir.

Bileşke: sağdaki işlemi önce uygula
Bileşke: sağdaki işlemi önce uygula. (g ∘ f)(x) = g(f(x)) ifadesinde x önce f’ye, elde edilen sonuç sonra g’ye girer. f(x) = x + 2 ve g(x) = 3x için g(f(x)) = 3x + 6, f(g(x)) = 3x + 2’dir; sıra genellikle değiştirilemez. Cebirsel kuralı yazmanın yanında f(x)’in g’nin tanım kümesinde bulunduğunu kontrol ederiz. Örneğin g(t) = √t olduğunda g(f(x)) = √(x + 2) yalnız x büyük veya eşit −2 için gerçektir. Bileşke eşitliği sorusunda iki tarafı ayrı hesaplayıp sonra denklem kurarız. Birkaç girdide eşit sonuç alınması, bileşkelerin her girdide eşit olduğunu göstermez.

Ters fonksiyon: görüntüden girdiye dönüş
Ters fonksiyon: görüntüden girdiye dönüş. f⁻¹(y), f’nin y görüntüsünü üreten tek girdiyi gösterir; 1/f(y) anlamına gelmez. Tanım ve değer kümeleri arasında ters bir fonksiyon bulunması için f’nin bire bir ve örten olması gerekir. f(x) = 4x − 3, gerçek sayılar ; sonra gerçek sayılar için y = 4x − 3 yazıp x = (y + 3)/4 çözeriz; f⁻¹(y) = (y + 3)/4. Kontrol f⁻¹(f(x)) = x ile yapılır. Parabolde tek bir ters için uygun dal seçilir. x² kuralını [0, ∞) ; sonra [0, ∞) olarak alırsak ters √x olur; tüm gerçeklerde iki işaretli girdi yüzünden ters fonksiyon oluşmaz.

Simetri, yineleme ve gerçek yaşam modeli
Simetri, yineleme ve gerçek yaşam modeli. Tek fonksiyonda f(−x) = −f(x), çift fonksiyonda f(−x) = f(x) koşulu her uygun x için sağlanır; tanım kümesi de sıfıra göre simetrik olmalıdır. Bir polinomun tek olması çift kuvvetli terimlerin ve sabitin sıfırlanmasını gerektirir. Yineleme sorularında verilen f(x + 1) − f(x) farkını istenen adım sayısı kadar kullanırız; bu koşuldan bütün gerçeklerde doğrusal olma sonucu çıkaramayız. Ücret modellerinde sabit ücret başlangıç değeridir, birim başına ücret eğimdir. İki planı karşılaştırırken eşitlik ile daha ucuz olma koşulunu ayırır, oturum sayısının tam sayı olduğunu en son değil, model kurarken kaydederiz.

Gerekçeli örnek 1
Gerekçeli örnek 1. f: gerçek sayılar ; sonra gerçek sayılar için f(2x + 1) = 6x − 4 veriliyor. f⁻¹(5) değerini değişken dönüşümüyle bulun ve kontrol edin. t = 2x + 1 seçilirse x = (t − 1)/2 olur. f(t) = 6(t − 1)/2 − 4 = 3t − 7. Eğimi 3 olduğu için bu fonksiyon gerçek sayılar üzerinde bire bir ve örtendir. f⁻¹(5) demek f(t) = 5 eşitliğini sağlayan t demektir. 3t − 7 = 5, t = 4. Kontrol: f(4) = 12 − 7 = 5. Aynı sonuç ters kural f⁻¹(y) = (y + 7)/3 üzerinden elde edilir. Burada 1/f(5) hesaplamak ters fonksiyonu bulmaz; o işlem bir sayının çarpmaya göre tersidir.

Gerekçeli örnek 2
Gerekçeli örnek 2. A planı 40 + 5n TL, B planı 100 + 2n TL olsun. n negatif olmayan tam sayı kullanımdır. Hangi plan hangi kullanım aralığında daha ucuzdur? İki ücreti eşitleyelim: 40 + 5n = 100 + 2n, 3n = 60, n = 20. Fark A − B = 3n − 60’tır. n < 20 için bu fark negatiftir ve A daha ucuzdur; n = 20 için ikisi 140 TL’dir; n > 20 için B daha ucuzdur. Tam sayı kullanımda A, 0–19 kullanımlarında; B, 21 ve üzerindeki kullanımlarda avantajlıdır. 20’de biri daha ucuz diye seçilemez. Kontrol noktaları olarak n = 0 ve n = 21 koymak eşitsizliğin yönünü sınamamıza yardımcı olur.

Yanılgıyı düzelt
Yanılgıyı düzelt. Bir fonksiyonun tersini bulmak için yalnız x ile y’nin yerini değiştirmek yeterlidir. Düzeltme: Cebirsel yer değiştirme aday kuralı verir. Tersin tek değerli olup olmadığını, özgün fonksiyonun bire birliğini, değer kümesini ve yeni tanım kümesini de kontrol etmek gerekir.

Kaynaklar:
https://www.osym.gov.tr/2026yuksekogretim-kurumlari-sinavi-yks-kilavuzu
https://ogmmateryal.eba.gov.tr/v1/soru-bankasi-kazanim-frame/matematik?d=49&s=7
https://ogmmateryal.eba.gov.tr/panel/upload/etkilesimli/kitap/kazanim_kavrama/pdf/10/matematik.pdf